PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Nama : Nadia Nur Anggraini / 28

Kelas : XI IPS 3

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Contoh soal 1 :

Jika $R\left(t\right)=t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}$, maka $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{3}{2\sqrt{t}}$
B. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2\sqrt{t}}$
C. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
D. $\frac{2}{3}\sqrt{t}-\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$
E. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$

Pembahasan :

Diketahui :
$\begin{array}{cc}R\left(t\right)& =t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}=t\cdot t^{1/2}+\frac{1}{t\cdot t^{1/2}}\\ & =t^{3/2}+t^{-3/2}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}& =\frac{3}{2}{t}^{3/2-1}-\frac{3}{2}{t}^{-3/2-1}\\ & =\frac{3}{2}{t}^{1/2}-\frac{3}{2}{t}^{-5/2}\\ & \\ & =\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
(Jawaban C)

Contoh soal 2

Turunan pertama dari $f\left(x\right)=\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)$. Nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$       B. 2          C. $4$          D. 5      E. $10$

Pembahasan :

Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}\\ & =4(\underset{u}{\underset{}{x-3}}{)}^{-1}-6x^{-1}\\ f^{\prime }\left(x\right)& =4(-1)(x-3{)}^{-2}\cdot \underset{u^{\prime }}{\underset{}{1}}-6(-1)x^{-2}\\ & =-\frac{4}{(x-3{)}^2}+\frac{6}{x^2}\end{array}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(1\right)& =-\frac{4}{(\left(1\right)-3{)}^2}+\frac{6}{{\left(1\right)}^2}\\ & =-\frac{4}{4}+\frac{6}{1}\\ & =-1+6=5\end{array}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=5$
(Jawaban D)

Contoh soal 3 :

Turunan pertama dari $H\left(x\right)=x^{2/3}(4x-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}+\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
B. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
C. $\frac{10\sqrt[3]{3x}}{3}-\frac{20}{3\sqrt[3]{3x}}$
D. $\frac{-20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
E. $\frac{4x-5}{3\sqrt[3]{3x}}-\frac{4}{\sqrt[3]{3x}}$

Pembahasan 

Diketahui
$\begin{array}{cc}H\left(x\right)& =x^{2/3}(4x-5)\\ & =4x^{2/3}\cdot x-5x^{2/3}\\ & =4x^{5/3}-5x^{2/3}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{H}^{\prime }\left(x\right)& =4\cdot \frac{5}{3}\cdot x^{5/3-1}-5\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{2/3-1}\\ & =\frac{20}{3}{x}^{2/3}-\frac{10}{3}{x}^{-1/3}\\ & =\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $H\left(x\right)$ adalah $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
(Jawaban B)

Contoh soal 4

Turunan pertama dari $y=(2x+1{)}^5(x+1)$ ditulis sebagai $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$. Jika $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(ax+b{)}^4(cx+d)$ dengan $a,b,c,d$ bilangan bulat positif, maka nilai dari $a+b+c+d=\cdots \cdot$
A. $20$        B. 24         C. $26$      D. 27           E. $29$

Pembahasan :

Diketahui $y=(2x+1{)}^5(x+1)$.
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
$$\begin{array}{cc}u& =(\underset{p}{\underset{}{2x+1}}{)}^5⟹u^{\prime }=5(2x+1{)}^4\left(\underset{p^{\prime }}{\underset{}{2}}\right)=10(2x+1{)}^4\\ v& =x+1⟹v^{\prime }=1\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =10(2x+1{)}^4(x+1)+(2x+1{)}^5\left(1\right)\\ & =(2x+1{)}^4(10(x+1)+(2x+1))\\ & =(2x+1{)}^4(10x+10+2x+1)\\ & =(2x+1{)}^4(12x+11)\end{array}$
Karena diketahui $y^{\prime }=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(ax+b{)}^4(cx+d)$, maka kita dapatkan $a=2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$, sehingga $a+b+c+d=2+1+12+11=26$
(Jawaban C)

Contoh soal 5

Besar populasi di suatu daerah $t$ tahun mendatang ditentukan oleh persamaan $p\left(t\right)={10}^3{t}^2-5\cdot {10}^{2}t+{10}^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\cdots \cdot$
A. $10.500$ jiwa per tahun
B. $10.000$ jiwa per tahun
C. $9.500$ jiwa per tahun
D. $9.000$ jiwa per tahun
E. $8.500$ jiwa per tahun

Pembahasan 

Diketahui $p\left(t\right)={10}^3{t}^2-5\cdot {10}^{2}t+{10}^6$.
Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh nilai turunan pertama $p\left(t\right)$ saat $t=5$. Turunan pertamanya adalah
$p^{\prime }\left(t\right)={10}^3\left(2\right)t-5\cdot {10}^2$
Substitusi $t=5$ dan kita akan memperoleh
$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }\left(5\right)& ={10}^3\left(2\right)\left(5\right)-5\cdot {10}^2\\ & =10.000-500=9.500\end{array}$
Jadi, laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $9.500\text{jiwa/tahun}$
(Jawaban C)

Contoh soal 6

Misalkan $h\left(x\right)=5+\left(f\right(x){)}^2$ dengan grafik $f\left(x\right)$ diberikan pada gambar di bawah. Nilai $h^{\prime }\left(0\right)=\cdots \cdot$

A. $-16$                C. $-5$                E. $-\frac{1}{3}$
B. $-7$                  D. $-\frac{4}{3}$

$\mathrm{Diketahui\; :\; h}\left(x\right)=5+\left(f\right(x){)}^2$.
Turunan pertama $h\left(x\right)$ dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai.
$h^{\prime }\left(x\right)=0+2f\left(x\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)=2f\left(x\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)$
Jika $x=0$, diperoleh
$h^{\prime }\left(0\right)=2f\left(0\right)\cdot f^{\prime }\left(0\right)$
Nilai fungsi $f$ saat $x=0$ adalah $f\left(0\right)=2$ (lihat grafik).
$f^{\prime }\left(0\right)$ menyatakan gradien garis singgung $f\left(x\right)$ di titik $x=0$. Tampak pada grafik bahwa garis singgung $f\left(x\right)$ di titik tersebut melalui $(-1,6)$ dan $(0,2)$ sehingga gradiennya adalah $f^{\prime }\left(0\right)=m=\frac{6-2}{-1-0}=-4$.
Untuk itu,
$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }\left(0\right)& =2f\left(0\right)\cdot f^{\prime }\left(0\right)\\ & =2\left(2\right)(-4)=-16\end{array}$
Jadi, nilai dari $h^{\prime }\left(0\right)=-16$
(Jawaban A)

Contoh soal 7 

Jarak yang ditempuh dalam $t$ dari suatu partikel dinyatakan dengan rumus $s\left(t\right)=t^3+2t^2+t+1$. Pada saat kecepatan partikel tersebut $21$, maka percepatannya adalah $\cdots \cdot$
A. $10$        B. 12            C. $16$          D. 18        E. $20$

Pembahasan 

Diketahui:
$\begin{array}{cc}s\left(t\right)& =t^3+2t^2+t+1\\ v\left(t\right)& =21\end{array}$
Karena fungsi kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak, maka kita peroleh
$\begin{array}{cc}{s}^{\prime }\left(t\right)& =v\left(t\right)\\ 3t^2+4t+1& =21\\ 3t^2+4t-20& =0\\ (3t+10)(t-2)& =0\\ \therefore t=-\frac{10}{3}\text{atau}& t=2\end{array}$
Perhatikan bahwa $t$ mewakili besaran waktu sehingga tidak mungkin bertanda negatif. Oleh karenanya, diambil $t=2$.
Fungsi percepatan $a\left(t\right)$ merupakan turunan kedua dari fungsi jarak, atau turunan pertama dari fungsi kecepatan, sehingga
$\begin{array}{cc}a\left(t\right)& =v^{\prime }\left(t\right)=6t+4\\ \text{Subs}& \text{titusi}t=2\\ a\left(2\right)& =6\left(2\right)+4=16\end{array}$
Jadi, percepatan partikel itu adalah $16$

(Jawaban C)

Contoh soal 8     

Diketahui grafik kurva $y=f\left(x\right)$ seperti pada gambar di bawah.

Jika 

$h\left(x\right)=(f\circ f)\left(x\right)$ dan $h^{\prime }\left(x\right)$ menyatakan turunan pertama dari $h\left(x\right)$, maka nilai $h^{\prime }(-2)=\cdots \cdot$
A. $-2$        B. -1           C. $0$         D. 1         E. $2$

Jawaban :

Berdasarkan grafik $f\left(x\right)$, tampak bahwa $f(-2)=-2$.
Di titik $(-2,-2)$, terdapat garis singgung dengan kemiringan (gradien) $m=\frac{-2}{2}=-1$. Ini berarti $f^{\prime }(-2)=-1$ karena turunan pertama fungsi di suatu titik merupakan gradien garis singgung grafik fungsi di titik tersebut.
Oleh karena itu, berdasarkan Aturan Rantai, kita peroleh
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =(f\circ f)\left(x\right)=f\left(f\right(x\left)\right)\\ ⟹h^{\prime }\left(x\right)& =f^{\prime }\left(f\right(x\left)\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)\\ h^{\prime }(-2)& =f^{\prime }\left(f\right(-2\left)\right)\cdot f^{\prime }(-2)\\ & =f^{\prime }(-2)\cdot f^{\prime }(-2)\\ & =-1\cdot (-1)=1\end{array}$
Jadi, nilai dari $h^{\prime }(-2)=1$
(Jawaban D)