PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Nadia Nur Anggraini (28)
XI IPS 3


PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL


Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). 
Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1). 

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan

y-y1=m(x-x1)


Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Screenshot_9

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah



Persamaan garis normal bergradien -1/m dan melalui A(x1,y1)






Contoh soal 1 :
Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...
Pembahasan :
x = 2 y = x4 - 7x2 + 20 ⟶  y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)
Persamaan Garis singgung
m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y - y1 = m(x - x1)
y - 8 = 4(x - 2)
y - 8 = 4x - 8
y = 4x ⟶ Persamaan garis singgung
Persamaan garis normal
gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal m2 = - 1/4
Garis normal bergardien m2 = - 1/4  melalui A(2,8)
Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

y - y1 = m2(x - x1)

y - 8 = - 1/4(x - 2) kalikan 4

4y - 32 = -x +2

x + 4y = 34 ⟶ Persamaan garis normal

Contoh soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik (-1, 1)!

 Pembahasan :

 Cari gradien dari kurva y dengan menggunakan turunan pertama. m = y’

 

m = f '(a)

= 2x

m = 2(-1)

= -2

Maka persamaan garis singgung kurva dengan gradient m = -2 di titik (-1, 1) adalah

y -y1 = m(x -x1)

y -1 = -2(x-(-1))

y -1 = -2x -2

y = -2x -1



Contoh soal 3 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

Pembahasan :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15


Contoh soal 4 :

Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada kurva y = x2 + 3x +2 dititik (1,6)

Pembahasan:
Diketahui (1,6) ⇔a=1 dan b=6
dan kurva y = x² + 3x + 2

⇒ m1 = y' = dy / dx
m1 = d(x² - 3x + 2)/dx = 2x + 3
x = 1 → m1 = 2(1) + 3 = 5
m1 = graduen garis singgungnya.
m2 = gradien garis normal ( tegak lurus
dengan garis singgung tersebut)
m1 · m2 = - 1 atau
m2 = -1/(m1) = -1/5

sehingga persamaan garis singgungnya:
y = m1(x - a) + b
y = 5(x -1) + 6
y = 5x - 5 + 6
y = 5x + 1 (bentuk eksplisit)
5x - y + 1 = 0 (bentuk implisit)

dan persamaan garis normalnya:
y = m2(x - a) + b
y = (-1/5)(x -1) + 6
y = (-1/5)x + (1/5) + 6
y = (-1/5)x + (31/5) (bentuk eksplisit)
5y = -x + 31
x + 5y - 31 = 0 (bentuk implisit)

Jawab
Persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada kurva
y = x² + 3x +2 di titik (1,6) masing-masing adalah 5x - y + 1 = 0 dan x + 5y - 31 = 0
Contoh soal 5 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Pembahasan :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x3 + 10 = 18
x3 = 8
x = 2

m = y’ = 3x2 = 3.22 = 12

Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y1 = m(x – x1)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16


DAFTAR PUSTAKA

https://sumber.belajar.kemdikbud.go.id/repos/FileUpload/Garis%20Singgung%20Garis%20Normal-BB/Topik-2.html

http://rumus-matematika.com/bagaimana-mencari-persamaan-garis-singgung-kurva

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

TRIGONOMETRI

Gambar
NADIA NUR ANGGRAINI (28) X IPS 3 Materi matematika yang saya sukai di semester 2 ini adalah tentang aturan sinus dan cosinus. Karena materi ini rumusnya tidak terlalu rumit jika kita dapat memahami rumusnya dengan baik kita pasti dapat mengerjakannya. Walaupun  materi tersebut dilihatnya sedikit susah, tetapi jika kita memiliki usaha untuk terus mencoba pasti bisa mengerjakannya dengan baik dan benar SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI 3.7 Menyelesaikan Cara Mengubah Satuan Pengukuran Sudut Trigonometri Radian ke Derajat, Derajat ke Radian Contoh soal 1 :  Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan radian! a. 30° 20′ 15” b. 106° 20′ Penyelesainnya : a. kita ketahui bahwa: 1” = (1/3600)° 1′ = (1/60)° 1° = 0,0174 radian, maka: 30° 20′ 15” = 30° + 20.(1/60)° + 15.(1/3600)° = (108000/3600)° + (1200/3600)° + (15/3600)° = (109215/3600)° = (109215/3600).0,0174 radian = 0,53 rad b. kita ketahui bahwa: 1′ = (1/60)° 1° = 0,0174 radian, maka: 106° 20′ = 106° + 20...
Baca selengkapnya

SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Nadia Nur Anggraini / 28 XI IPS 3 SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN Contoh soal 1 Suatu perusahaan memproduksi  x x  unit barang dengan biaya  ( 4 x 2 − 8 x + 24 ) ( 4 x 2 − 8 x + 24 )  ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah  ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00 B. Rp32.000,00                     E. Rp64.000,00 C. Rp48.000,00 Pembahasan   Misalkan  f ( x ) f ( x )  menyatakan total biaya produksi  x x  unit barang,  g ( x ) g ( x )  menyatakan harga jual  x x  unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan  h ( x ) h ( x )  menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan  x x  unit barang, maka f ( x ) = x ( 4 x 2 − 8 x + 24 ) = 4 x 3 ...
Baca selengkapnya

SOAL TRANSFORMASI DAN PENYELESAIANNYA

Gambar
Nama : Nadia Nur Anggraini No absen : 28 Kelas : XI IPS 3 SOAL TRANSFORMASI DAN PENYELESAIANNYA Contoh soal 1 : Jika transformasi T1, memetakan (x, y) ke (-y, x) dan transformasi T2 menyatakan (x, y) ke (-y, -x) dan jika transformasi T merupakan transformasi T1 yang diikuti oleh transformasi T2, maka matriks T adalah ... Pembahasan : Rotasi +90^0 yang berpusat di titik O(0, 0) memiliki matriks:  -    T1 merupakan rotasi +90^0 dengan pusat O(0,0) maka matriksnya adalah:  -    T2 merupakan pencerminan y = -x, maka matriksnya:  Contoh soal 2 : Bayangan kurva y = 3x – 9x^2 jika di rotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90^0 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ... Pembahasan : -    Rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90^0 memiliki matriks: -    Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 memiliki matriks:  T1 =  dan T2 =  T2 o T1 =  Maka matriks transformasi...
Baca selengkapnya

DAERAH BERSIH DAN DAERAH KOTOR PROGRAM LINIER

Gambar
Nama : Nadia Nur Anggraini (28) Kelas : XI IPS 3  Daerah Bersih dan Daerah Kotor Program Linier Gambar daerah bersih dan daerah kotor dari pertidaksamaan  3x + 2y ≤ 12, 5x + 3y < 19, x ≥ 0, y > 0 PENYELESAIAN: 3x + 2y ≤ 12  x = 0 3.0 + 2y = 12          2y = 12             y = 6 3x + 2.0 = 12          3x = 12             x = 4 5x + 3y < 19    y = 0  5x + 3.0 = 19           5x = 19              x = 3,8  5.0 + 3y = 19           3y = 19              y = 6,3 DAERAH PENYELESAIAN daerah penyelesaian x ≥ 0 daerah penyelesaian y > 0   DAERAH ARSIRAN gambar daerah kotor gambar daerah bersih KESIMPULAN: Daerah kotor - Himpunan/daerah penyelesaiannya adalah daerah yang mengalami banyak arsiran Dae...
Baca selengkapnya

LOGIKA TRIGONOMETRI

Gambar
Juli, 13 2020 Nadia Nur Anggraini (28) XI IPS 3 LOGIKA MATEMATIKA A. Pengertian Logika matematika   adalah gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika berasal dari bahasa yunani kuno yaitu   λόγος (logos) , logos dapat diartikan sebagai hasil pertimbangan akal atau pikiran yang dinyatakan lewat kata atau bahasa. Sedangkan jika diartikan secara sistematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran. Logika matematika diartikan sebagai cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Logika matematika memiliki kegunaan yaitu untuk menganalisis kasus atau sebagai media penarik kesimpulan. Logika matematika sebagai ilmu independen yang muncul pada abad pertengahan ke 19. Pada abad sebelumnya, logika matematika ini dipelajari melalui Ilmu Retorika, Silogisme, & sebagai Ilmu Filsafat. S...
Baca selengkapnya