LATIHAN PTS MATEMATIKA

Nadia Nur Anggraini (28)
XI IPS 3

Pembahasan Soal PTS Matematika

Soal 1

Premis 1 : jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.premis 2: jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.kesimpulan yang sah dari kedua premister tersebut adalah...

jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman

Soal 2

Buktikan bahwa : 1+3+5+...+ (2n-1) =n2

angkah induksi

1) n = 1

2) n = k

3) n = k + 1

1 + 3 + 5 + . . . + (2n - 1 ) = n²

i) n = 1

2(1) - 1 = 1²

2 - 1 = 1

1 = 1 (benar)

ii) n = k

1 + 3 + 5 + . . . + (2k - 1) = k²

iii) 1 + 3 + 5 + . . . + (2k - 1) + {2(k +1) -1 } = (k+1)²

k² + 2k + 2 - 1 = k² + 2k + 1

k² + 2k + 1 = k² + 2k + 1

Soal 3

Tunjukan bahwa dalam barisan geometri yang disebut di no.3 dengan r adalah rasio barisan..terbukti benar

Soal 4

buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar. 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 +.... + 1/n ( n+1 ) = n/n+ 1 untuk setiap bilangan asli..terbukti benar

Soal 5

buktikan dengan induksi matematika bahwa a^2n-1+b^2n-1 habis dibagi oleh a+b untuk semua bilangan asli n..terbukti benar

Soal 6

Buktikan dengan induksi matematika bahwa : 5^2n + 3n - 1 habis dibagi 9

1) buktikan kebenaran untuk $n=1$

$5^{2} + 3 - 1 = 27$

(Benar)

2) asumsikan benar untuk $n=k$

$5^{2k} + 3k - 1 = 9m$ , $m \in \mathbb{N}$

( $9m$ menunjukkan bahwa $5^{2k} + 3n - 1$ merupakan kelipatan 9)

3) cek kebenaran untuk $n=k+1$

$5^{2(k+1)} + 3(k+1) - 1\\= 5^{2k}5^2 + 3k + 3 - 1\\= 25\cdot5^{2k} + 3k - 1 + 3\\= 24\cdot5^{2k} + 5^{2k}+ 3k - 1 + 3\\= 5^{2k}+ 3k - 1 + 3 + 24\cdot5^{2k}\\= 9m + 3 + 24\cdot 5^{2k}$

akan terbukti benar jika $3 + 24\cdot 5^{2k}$ habis dibagi 9

bisa buktikan itu dengan induksi lagi

buktikan bahwa $3 + 24\cdot 5^{2n}$ habis dibagi 9

1) cek kebenaran untuk $n = 1$

$3 + 24\cdot 5^{2} = 603$

(benar)

2) asumsikan benar untuk $n=k$

$3 + 24\cdot 5^{2k} = 9m$

3) cek kebenaran untuk $n=k+1$

$3 + 24\cdot 5^{2(k+1)} \\= 3 + 24\cdot25\cdot5^{2k}\\= 3 + 24\cdot5^2k + 24\cdot24\cdot 5^{2k}\\= 9m + 3\cdot8\cdot3\cdot8\cdot 5^{2k}\\= 9m + 9\cdot64\cdot5^{2k}\\= 9( m + 64\cdot5^{2k})$

terbukti bahwa $3 + 24\cdot 5^{2n}$ habis dibagi 9 benar

maka pernyataan awal tadi juga benar

Soal 7

Buktikan untuk masing masing bilangan asli n _> 5 akan berlaku 2n-3<2n-2

Penjelasan dengan langkah-langkah:

n_>5={1,2,3,4,5}

2n-3<2n-2

=2(1)-3<2(1)-2

=(-1)<0(benar)

2(2) -3<2(2) -2

=1<2 (benar)

2(3) -3<2(3) -2

=3<4(benar)

2(4) -3<2(4) -2

=5<6( benar)

2(5) -3<2(5) -2

=7<8( benar)

Soal 8

penyelesaian dari sistem persamaan 2x-3y=-13 dan x+2y=4 adalah?

persamaan x+2y=4 kita kalikan dengan 2, maka menjadi
2x+4y = 8 -------> (persamaan 1)
2x-3y = -13 ------> (persamaan 2)
--------------- - (dikurangi)
7y = 21
y = 21/7
y = 3

nilai y = 3 kita masukkan kdlam salah satu persamaan di atas, misalkan pada
persamaan x+2y = 4,
x+2.3 = 4
x+6 = 4
x = 4-6
x = -2

jadi penyelesainnya adlh x= -2 dan y = 3

Soal 9

Harga 5 kg gula dan 30 kg beras adalah Rp410.000,00, sedangkan harga 2 kg gula dan 60 kg beras adalah Rp740.000,00. Harga 2 kg gula dan 5 kg beras adalah

gula = x
beras = y
5x + 30y = 410.000 |*2
2x + 60y = 740.000 |*1

10x + 60y = 820.000
2x + 60y = 740.000
_________________-

8x = 80.000
x = 10.000

subtitusikan x nya ke persamaan
2x + 60y = 740.000
2(10.000) + 60y = 740.000
20.000 + 60y = 740.000
60y = 720.000
y = 12.000

jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000
maka 2kg gula dan 5kg beras
= 2(10.000) + 5(12.000)
= 20.000 + 60.000
= Rp 80.000

Soal 10

Tentukan daerah bersih dari pertidaksamaan linear berikut 5x+3y <15

Untuk x = 0

5x + 3y = 15

5 (0) + 3y = 15

3y = 15

y =

y = 5 titik (0, 5)

Untuk y = 0

5x + 3y = 15

5x + 3 (0) = 15

5x = 15

x =

x = 3 titik (3, 0)

Jadi garis 5x + 3y = 15 melalui titik (0, 5) dan (3, 0)

Soal 11

Tentukan daerah kotor dari pertidaksamaan linear berikut 2x-5y > 20

Penjelasan dengan langkah-langkah:

2x-5y>20

titik potong di y

x=0

2(0)-5y>20

-5y>20

y<20/-5

y<-4

Hp { 0,-4}

titik potong di x

y=0

2x-5(0)>20

2x>20

x>20/2

x>10

Hp {10,0}

Hp{ 10,0 ; 0.-4}

QUESTION 2

Soal 12

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + 6y ≥ 30; -2x + y ≤ 0 ; y ≥ 2 ditunjukan oleh daerah... 3

Soal 13

Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

Soal 14

Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi x + y ≤ 5 , x ≥ 0 , y ≥ 0, dan x , y ∈ R.

soal program linear no 13

Jadi, nilai maksimum dicapai pada titik (5,0) yaitu: 3 . 5 + 2 . 0 = 15.

QUESTION 3

Soal 15

Luas sebuah tempat parkir adalah 420 m2. Tempat parkir yg diperlukan oleh sebuah sedan adalah 5 m2 dan luas rata-rata truk 15 m 2. tempat parkir tersebut menampung tidak lebih dri 60 kendaraan. biaya parkir untuk sebuah sedan Rp.3000 dan truk Rp 5000. jika sedan yang diparkir x buah dan truk yang diparkir y buah. model matematika dri masalah tsb adalah..

x + 3y < 84 ; x+y < 60 ; x > 0 ; y > 0

Soal 16

seorang penjahit memiliki persediaan 20 m kain polos dan 20 m kain bergaris untuk membuat 2 jenis pakaian. pakaian model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.pakaian model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong,dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong.penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah

Model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.
Model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.
Persediaan kain polos 20 m
persediaan kain bergaris 20 m
Harga jual model I Rp.150.000,00
Harga jual model II Rp.100.000,00

Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh = ...

(1) Kita Buat Tabel Untuk memudahkan:

Model || Polos || Garis || Harga

I || 1 || 3 || 150.000

II || 2 || 1 || 100.000

Stok || 20 || 20 || maksimum

(2) Kita buat kalimat matematika dari Tabel diatas Dengan kain polos sebagai (x) dan kain bergaris sebagai (y) :

x + 2y ≤ 20

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

(3) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

⇒ 2y = 20

⇒ y = 20/2

⇒ y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

⇒ x + 0 = 20

⇒ x = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

⇒ 0 + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

⇒ 3x + 0 = 20

⇒ 3x = 20

⇒ x = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20 | x 1 | x + 2y = 20

3x + y = 20 | x 2 | 6x + 2y = 40

============ -

-5x = -20

x = 20/5

x = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

y = 20 - 12

y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

(4) Selanjutnya Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :

Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :

Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)

A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10) =

= 0 + 1.000.000 = 1.000.000

B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8) =

= 600.000 + 800.000 = 1.400.000

C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0) =

= 1.000.000 + 0 = 1.000.000

Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

Soal 17

Diketahui matriks A = ( 2 3 -1 4 ) dan matriks B = ( 1 4 -2 5 ). Jika matriks C = 2A^t - B maka determinan dari matriks C adalah....

Jika diketahui matriks , , dan ,maka determinan dari matriks C adalah 57.

Pembahasan

Matriks adalah susunan beberapa bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.

Ordo matriks adalah ukuran dari suatu matriks yang ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom dari suatu matriks. Misalkan matriks A mempunyai m baris dan n kolom, maka ordo matriks A adalah m x n.

Transpos matriks adalah mengubah baris matriks A menjadi kolom matriks sehingga matriks A dengan ordo m x n akan menjadi matriks transpos A' dengan ordo n x m.

Determinan matriks A dilambangkan dengan det A atau |A|. Untuk menentukan determinan matriks dapat digunakan sebagai berikut.

1. Matriks berordo 2 x 2

Jika matriks , maka

det A = |A| =

2. Matriks berordo 3 x 3

Jika matriks

, maka

determinan A dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus:

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃

Penyelesaian

diket:

ditanya:

det C...?

jawab:

- mencari transpos matrisk A

⇒

- mencari matriks C

- mencari det C

det C = (3)(3) - (-6)(8)

= 9 + 48

det C = 57

Soal 18

Matriks At adalah transpose matriks A. Jika matriks C = (4/7 -1/7 -1/7 2/7) B = (4 2 2 8) dan A = C-1 maka determinan dari matriks At.B adalah.. 196

Soal 19

Jika matriks a 2x+1 3 6x-1 5 tidak mempunyai invers.maka nilai x adalah

Diketahui

A =

Matriks A tidak mempunyai invers

Ditanyakan

x = .... ?

Jawab

Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol

Jadi

|A| = 0

(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0

10x + 5 – 18x + 3 = 0

8 – 8x = 0

8 = 8x

x =

x = 1

Soal 20

diketahui matriks a= ( 3, y, 5,-1) , b= ( x,5,-3,6), dan c = ( -3,-1, y, 9) . jika a+ b - c = ( 8, 5x, -x , -4) nilai x + 2xy + y adalah..22

QUESTION 4

Soal 21

Dua garis dlm persamaan matriks (y/-3 5/6) = (5/4) saling tegak lurus maka a : b adalah..1,7 atau 0,6

Soal 22

Suatu perusahaan pakaian, JCloth, memiliki dua pabrik yang terletak di Surabaya dan Malang. Di dua pabrik tersebut, JCloth memproduksi dua jenis pakaian, yaitu kaos dan jaket. Perusahaan tersebut memproduksi pakaian yang kualitasnya dapat dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu standard, deluxe, dan premium. Tahun kemarin, pabrik di Surabaya dapat memproduksi kaos sebanyak 3.820 kualitas standard, 2.460 kualitas deluxe, dan 1.540 kualitas premium, serta jaket sebanyak 1.960 kualitas standard, 1.240 kualitas deluxe, dan 920 kualitas premium. Sedangkan pabrik yang terletak di Malang dapat memproduksi kaos sebanyak 4.220 kualitas standard, 2.960 kualitas deluxe, dan 1.640 kualitas premium, serta jaket sebanyak 2.960 kualitas standard, 3.240 kualitas deluxe, dan 820 kualitas premium dalam periode yang sama.

Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut.

Dari penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

Soal 23

Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan susi membelu 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir, arman membayar Rp. 11.500 sedangkan susi membayar RP. 9.000. Jika doni membeli 6 dan 5 penghapus, berapa ia harus membayar

x = pensil
y = penghapus

5x + 3 y = 11.500 (x2)
4x + 2 y = 9.000 (x3)
_______________
10x + 6 y = 23.000
12x + 6y = 27.000
_______________ (-)
-2x = -4.000
x = 2.000

4x + 2y = 9.000
4*2000 + 2y = 9000
2y = 1000
y = 500

jadi harga pensil = 2000 dan penghapus = 500
sehingga doni harus membayar 6*2000 + 5*500 = 12.000+2.500 = 14.500

Soal 24

Bu Ani seorang pengusaha makanan kecil yang menyetorkan dagangannya ke tiga kantin sekolah. Tabel banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya sebagai berikut. Kacang Keripik Permen Kantin A | 10 | 10 | 5 | Kantin B | 20 | 15 | 8 | Kantin C | 15 | 20 | 10 | (Dalam satuan bungkus) Harga sebungkus kacang, sebungkus keripik, dan sebungkus permen berturut-turut adalah Rp 2.000,00; Rp 3.000,00; dan Rp 1.000,00.Hitung pemasukan Bu Ani dari setiap kantin dengan cara perkalian matrik

Hitung pemasukan Bu Ani dari setiap kantin dengan cara perkalian matriks

Perkalian Matriks A dan Matriks B

AB =

Kantin A: Rp. 55.000,00

Kantin B: Rp. 93.000,00

Kantin C: Rp. 100.000,00

Soal 25

Lisa dan muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapar menyelesaikan 3 buah setiap jam dan muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam jumlah jam kerja lisa dan muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, lisa bekerja selama x jam dan muri bekerja selama y jam, maka model matematika penyrlrsaian masalah tersebut menggunakan matriks adalah

Pembahasan:

x + y = 16
3x + 4y = 55

Jika ditulis dalam bentuk matriks:

Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama 7 jam.

Cari Blog Ini

MATEMATIKA WAJIB