METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA

METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA

Nama : Nadia Nur Anggraini (28)

Kelas : XI IPS 3

Metode Pembuktian Matematika

A. Pembuktian Langsung

B. Pembuktian Tidak Langsung

C. Induksi Matematika

A. METODE PEMBUKTIAN LANGSUNG

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C” (Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap).

Pembuktian langsung dalam matematika dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi).

Definisi :

Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika terdapat suatu bilangan bulat k, 

sehingga n = 2k. 

Contoh 6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga 

6 = 2(3) 

-4 adalah genap, sebab terdapat (-2) sehingga 

-4 = 2(3)

Contoh soal :

Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil”.

Bukti : Diketahui bahwa n bilangan ganjil, maka dapat dituliskan n = 2k+1,

     dengan k bilangan bulat

     sehingga  n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2k) + 1

     Bentuk 2(2k²+2k) + 1 adalah bilangan ganjil

     Jadi n² bilangan ganjil

B. PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG

Pembuktian tidak langsung dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas dengan 2 cara

• Kontraposisi

Digunakan untuk menyatakan pembuktian implikasi (p → q)

Jenis Implikasi dibagi menjadi 3, yaitu:

Invers, bisa disimbolkan dengan : ~p → ~q

Konvers, bisa disimbolkan dengan : q → p

Kontraposisi, bisa disimbolkan dengan : ~q → ~p

Dari ke-3 jenis tersebut yang ekuivalen dengan p → q adalah kontraposisi. Jadi, bisa disimbolkan

p → q ≡ ~q → ~p

Contoh yang ekuivalen : "Jika saya orang Indonesia, maka saya orang Asia"

Konvers "Jika saya orang Asia, maka saya orang Indonesia" pernyataan salah

Invers "Jika saya bukan orang Indonesia, maka saya bukan orang Asia" pernyataan salah

Kontraposisi "Jika saya bukan orang Asia, maka saya bukan orang Indonesia" pernyataan benar

• Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh : 

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2

Ini menunjukkan bahwa  n2 = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

C. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi Matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli
Prinsip Induksi Matematika : Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n
Contoh :
Buktikan bahwa : "1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n², untuk semua bilangan asli n"
Bukti :
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n²
(a) P(1) benar, sebab 1=1
(b) Apabila P(k) benar, yaitu apabila 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k-1) = k², maka 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2k-1 + 2k+1 = (1 + 3 + 7 + ... + 2k-1 + 2k+1
= k² + 2k + 1
= (k+1)²
Sehingga P(k+1) benar